統計検定準1級 確率の土台 要点まとめノート【第1〜7章】

この記事の役割

確率の土台（第1〜7章）の復習ノートです。連載の各回が「なぜそうなるのか」を実験しながら追う記事なのに対し、こちらは押さえるべきことだけを1ページに集めたものです。用語集に近い形なので、詳しい導出や検算は各回へのリンクから読んでください。

• 同じ形式のノート：推測統計編（第8〜13章）・線形モデル編（第16〜21章）・確率過程編（第14〜15章）・多変量解析編（第22〜26章）・発展編（第27〜32章）
• 連載全体の目次は 統計検定準1級 独学記事インデックス にあります。
• 使い方：試験前は「つまずきやすいところ」の表だけを見返すのが効率的です。
• 筆者は統計の専門家ではありません。試験対策として使う場合は必ず公式テキストで確認してください。

章と回の対応

公開順と章の順が一致していません。第2章（母関数）は、極限定理まで来てから読んだほうが用途が分かるため最後に回しました。

用語集

言葉で説明できるかを先に確認する用です。

記号の注意：連載第3回では $s^2$ を $n$ で割る版、$u^2$ を $n-1$ で割る版に割り当てています。ただし公式ワークブックを含む多くのテキストは $s^2$ を不偏分散（$n-1$）に使います。本や問題文が変わったら、まず「その $s^2$ はどちらか」を確認してください。

第1章 事象と確率

条件付き確率は新しい概念ではなく、母集団を絞ってから割り算する操作です。

• 手元にあるのは $P(\text{データ} \mid \text{仮説})$、知りたいのは $P(\text{仮説} \mid \text{データ})$。この向きを変えるのに事前確率が必要。
• 精度99%の検査で陽性でも、有病率1%なら病気の確率は約50%。答えを支配しているのは検査の性能ではなく検査前の確率。
• 同じ構造がA/Bテストで再登場する。有意水準5%・検出力80%で100件テストしたときの「有意だったもののうち本物」の割合は次のとおり。

統計手法は何も変えていません。仮説の質だけが違います。

• p値は $P(\text{データ} \mid H_0)$ であって $P(H_0 \mid \text{データ})$ ではない。「p < 0.05 だから95%正しい」が成り立たない理由はこの向きの違いに尽きる。

→ 1万人を並べた図と検証は 第2回。

第3章 分布の特性値

• 順番を逆にすると別物（$E[X^2] \neq (E[X])^2$）。定義は「ズレを2乗して平均」で、展開するとこの形になる。
• 0/1データの分散は $p(1-p)$。$p = 0.5$ で最大なので、CVRが50%に近い指標ほど多くのサンプルが必要。
• 独立なら分散は足せる。標準偏差は足せない（3と4を足すと7ではなく5）。ここから

が出る。この $\sigma^2/n$ が第6〜7章（標本分布・中心極限定理・信頼区間の幅）すべての土台になる、この章で最も先まで効く1行。

• $n-1$ で割るのは偏りの補正。標本平均を使うとズレが小さく出る分を埋め合わせる。「自由度が1減る」は偏差の和が必ず0という制約1つぶん。
• 平均と分散が同じでも形は違う。それを測るのが歪度と尖度。シミュレーションでは標本尖度が理論値より小さめに出る（裾を作る稀な値がサンプルに入らないため）。バグではない。

→ 第3回。

第4章 変数変換

• 変換すると区間の幅が伸び縮みするので、伸縮率で割って面積（＝確率の総量）を1に保つ。それがヤコビアン。
• $f_X$ と $f_Y$ は別の関数。同じ $f$ を使うので混同しやすい。
• 非線形変換では $E[g(X)] \neq g(E[X])$。平均身長・平均体重から出したBMI（22.491）と、個人ごとに計算して平均したBMI（22.570）は一致しない。凸なら $E[g(X)] \ge g(E[X])$ だが、どちら向きにずれるかは変換ごとに確かめる（BMIは2変数関数なので1変数の凸性の図だけでは決まらない）。
• この事実は第6章で $E[s] < \sigma$（不偏分散の平方根は $\sigma$ の不偏推定量ではない）として戻ってくる。

→ 第4回。

第5章 離散型分布

使い分けは「選ぶ」ものではなく、二項分布から出発して前提が崩れたら次に渡される流れ。

• ポアソン分布は「レアな現象」専用ではない。$n$ が数えられないときの分布。
• 平均だけ見ていると前提の崩れに気づけない。ポアソンは平均＝分散なので、分散が大きければそれ自体が異常のサイン。
• 負の二項分布には流儀が2つある。失敗回数版（平均 $r(1-p)/p$）と試行回数版（平均 $r/p$）。scipy.stats.nbinom とRの rnbinom はどちらも失敗回数版。
• 無記憶なのは幾何分布だけ。負の二項分布（$r \ge 2$）は無記憶ではない。
• 「平均回数を引いてもまだ約37%（$1/e$）が未達成」は $p$ が小さいときの近似（$p = 0.03$ では33回時点で36.6%）。

→ 第5回。

第6章前半 連続型分布

名前で覚えるのをやめて、データがどう作られたかで並べ直す。

• 密度は確率ではない。1点の確率は0で、面積が確率。密度が1を超えても矛盾しない。
• 指数分布の中央値は平均より小さい（平均 × $\ln 2 \approx 0.693$）。「平均30分」＝「30分で半々」ではない。
• 無記憶性は欠陥ではなく適用範囲の宣言。摩耗や老化がある対象には使えないと言っているだけ。
• 足すと正規、混ぜると正規にならない。中心極限定理は「足す」の話。

→ 第6回。

第6章後半 標本分布

定義から入らず、困りごとから並べる。3つは正規分布から作った部品。

• t分布の裾が重い真因は「$s$ が小さめに出るから」ではない。$s$ がばらつくことの寄与が大きい（偏りの寄与0.05 対 ばらつきの寄与0.25）。
• $n-1$ で割るのとt分布を使うのは別問題。前者は偏りを、後者はばらつきを直す。両方セットで初めて正しい。
• t区間が壊れる条件は「正規でない」ではなく「歪んでいる」。対称なら頑健、対数正規は $n = 100$ でも被覆率85%程度。
• χ²の式に $\sigma$ があるのに未知でよいのはピボット量だから。区間推定という手法自体がこの発想の上にある。
• 「期待度数5以上」は呪文ではなく、中心極限定理をどこから信用してよいかの目安。小さい領域では棄却率が上下に揺れるので、1点の数字ではなく傾向で読む。

→ 第7回。

第2章 確率分布と母関数

• $e^{tX}$ の形が必然なのは、微分しても消えないことと和が掛け算になる（$e^{a+b} = e^a e^b$）を同時に満たす関数が指数関数だけだから。
• 独立なら $M_{X+Y}(t) = M_X(t)M_Y(t)$。畳み込み積分の代わりに掛け算1回で和の分布が決まるのが実用価値。再生性の証明もこれ1行。
• 「MGFが一致したから分布も同じ」と言えるのは一意性定理があるから。MGFが存在しない分布（コーシー分布など）では特性関数 $E[e^{itX}]$ を使う。

→ 第9回。

第7章 極限定理

• 大数の法則だけでは「どれくらいズレるか」が言えない。誤差の幅を数字にするにはCLTが必要。
• 精度は $\sqrt{n}$ でしか上がらない。精度2倍にはサンプル4倍。
• 母集団の人数は式に出てこない。$\sigma/\sqrt{n}$ に $N$ が現れないので、1億人の国でも2000人で足りる（有限母集団修正 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ は $N \gg n$ ならほぼ1）。「母集団の1%は調べないと」は誤り。
• 1.96 は確率ではなく「標準誤差の何個ぶんか」。誤差の幅は $1.96 \times \sigma/\sqrt{n}$ で、$n = 2000$・$p = 0.5$ なら約 ±2.2ポイント。
• CLTには「独立」「同一分布」「分散が有限」が必要。歪みが強いと $n$ が大きくても甘く、分散が無限（コーシー分布）なら何件集めても平均が収束しない。
• 標準化した和のMGFを対数に取って展開すると3次以降が $n$ で消え、$e^{t^2/2}$（＝標準正規分布のMGF）が残る。「なぜ正規分布なのか」の答えが第2章の道具で出る。

→ 第8回。

つまずきやすいところ

試験前に見返す用の一覧です。

この範囲で、連載がまだ扱っていないこと

正直に書いておきます。第1〜7章のうち、連載で単独に扱えていない項目です。

とくに条件付き期待値と分散分解、二変量正規分布は回帰分析で必須になるので、優先して埋める予定です。

次

確率の土台はここで一区切りです。次は推測統計（第8章 統計的推定の基礎）に入ります。

→ 連載の目次：統計検定準1級 独学記事インデックス

この連載は、うまくいった記録だけでなく詰まった箇所も含めて書いています。同じく準1級を目指している方、一度挫折した方の参考になれば嬉しいです。