変数変換とヤコビアン：「面積を1に保つための係数」だった【第4回】

2026.08.03 統計資格

はじめに

第3回では分散を扱いました。今回は第4章「変数変換」から、ヤコビアンを中心に見ていきます。

この章は、過去に一度つまずいた記憶があります。「ヤコビアン」という名前と $\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$ という見た目に圧倒されて、何のための量なのか分からないまま公式だけ眺めていました。

結論を先に書くと、ヤコビアンは「確率の総量を1に保つための調整係数」でした。それだけです。

なお筆者は統計の専門家ではありません。理解の誤りが含まれる可能性があるため、試験対策として読む場合は必ず公式テキストで確認してください。

TL;DR

身長も体重も正規分布なのに、BMI（体重÷身長²）は歪む。だから「変換後の分布」を求める必要がある
分布が変わる理由は、変換で区間の幅が伸び縮みするから
密度は「単位幅あたりの確率」なので、幅が変われば高さも変えないと辻褄が合わない
ヤコビアンが保つのは「全体の面積=1」だけ。平均も標準偏差も変わる
一般形は「元の密度を引く」と「幅の伸縮を補正する」を1行で書いたもの

統計の用語が出てくるので、先に用語集を置いておきます。用語を知っている方は「こういう困りごとから始まる」まで飛ばしてください。

用語集

この記事の鍵になる2つだけ挙げておきます。後で具体例つきで説明するので、いま覚える必要はありません。

用語	記号	意味
密度関数	$f_X(x)$	変数Xの密度関数に、値xを入れたもの。「x付近の密集度」
ヤコビアン	$\left\lvert \dfrac{dx}{dy} \right\rvert$	変換による幅の伸縮率。密度を補正する係数

$f_X(x)$ の添字 $X$ は「どの変数の話か」、括弧の $(x)$ は「代入する値」を表します。変換後の変数Yには $f_Y(y)$ という別の関数を使います。

こういう困りごとから始まる

身長の分布はわかっている。体重の分布もわかっている。 ——では、BMI（体重 ÷ 身長²）の分布はどうなるのか？

「元が正規分布なら、BMIも正規分布だろう」と考えたくなります。しかし違います。

身長・体重・BMIの分布。身長と体重は正規分布だがBMIは右に歪む

身長と体重はどちらも歪度がほぼ0（左右対称）ですが、BMIは歪度+0.175で右に裾が伸びています。割り算や2乗を通すと形が変わるのです。

だから「変換後の分布を知りたい」という需要が生まれます。これが第4章の存在理由でした。

実務でもよく起きます。単価×個数で売上を出す、対数を取る、比率にする——どれも変換なので、元の分布の性質はそのまま引き継がれません。

まず記号の意味を確認する

本題に入る前に、 $f_X(x)$ という記号を整理しておきます。私はここが曖昧なまま公式を眺めていたので、つまずいたのだと思います。

密度関数の記号の意味を示す2枚組の図。左は身長の密度曲線で、横軸が身長x（150〜190cm）、縦軸が密度f_X(x)。曲線上の3点にf_X(164)=0.0403、f_X(170)=0.0665（ピーク）、f_X(182)=0.0090と値が書き込まれ、添字のXは「どの変数の話か」、括弧の中のxは「代入する値」だと注記されている。右は同じ曲線の170cm付近に幅1cmの短冊を赤く塗った図で、高さ0.0665×幅1cm＝面積0.0665が確率になることを示し、密度そのものは確率ではないと注記されている

左の図が $f_X(x)$ の意味です。xを入れると密度が返ってくる関数で、 $f_X(170) = 0.0665$ は「170cm付近の密集度が0.0665」を表します。

密度は確率ではない

ここが重要な注意点です。 $f_X(170) = 0.0665$ は「170cmの人が6.65%いる」という意味ではありません。連続的な値では「ちょうど170.000…cm」の確率は0になってしまいます。

密度は「単位幅あたりの確率」で、幅を掛けて初めて確率になります。

\text{確率} \approx \text{密度} \times \text{幅}

実際に確かめました。

区間	幅	実測した確率	密度 × 幅
169.5〜170.5cm	1cm	0.0665	0.0665 × 1 = 0.0665
169.95〜170.05cm	0.1cm	0.00665	0.0665 × 0.1 = 0.00665

一致します。そしてこの性質が、ヤコビアンが必要な理由そのものでした。密度が「単位幅あたりの量」だから、変換で幅が変わったら密度も変わるのです。

核心：変換で「区間の幅」が変わる

なぜ分布の形が変わるのか。もっと単純な例で見ます。0〜1の一様分布を $Y = X^2$ に変換します。

変数変換で区間の幅が変わることを示す3パネルの図。左の大きなパネルは横軸が元の変数X（0〜1の一様分布）、縦軸が変換後のY=X²で、放物線に沿って幅0.10の区間を3つ色分けして置いている。X側はどれも幅0.10なのに、Y側の幅は0.0〜0.1の赤が0.01、0.45〜0.55のオレンジが0.10、0.9〜1.0の緑が0.19と変わり、狭くなった区間ほどデータが密集すると注記されている。右上は変換前のXのヒストグラムで密度1の平らな分布、右下は変換後のYのヒストグラムで0付近に密度4以上まで集中し、理論値1/(2√y)の黒い曲線と重なっている

左の図を見てください。X側で同じ幅0.1の区間が、Y側では違う幅になっています。

X側の区間（幅0.1）	Y側の区間	Y側の幅
0.0 〜 0.1	0.00 〜 0.01	0.01（1/10に潰れる）
0.45 〜 0.55	0.20 〜 0.30	0.10（そのまま）
0.9 〜 1.0	0.81 〜 1.00	0.19（1.9倍に広がる）

200万個のデータで、各区間に入る個数を数えました。

区間	X（変換前）	Y（変換後）
0.0 〜 0.1	200,343個	632,920個
0.4 〜 0.5	199,572個	149,476個
0.9 〜 1.0	199,874個	102,530個

理屈はこうです。 $X \in [0.0, 0.1]$ という幅0.1の区間は、2乗すると幅0.01に潰れます。データの個数は変わりません。 同じ数のデータが1/10の狭さに押し込まれるので、密度は10倍に濃くなる。

逆に $X \in [0.9, 1.0]$ は1.9倍に広がるので、密度は薄くなります。

ヤコビアンは伸縮率の補正にすぎない

この伸縮率は、変換の傾き（微分）そのものです。

\frac{dy}{dx} = 2x

密度は「個数 ÷ 幅」なので、幅が $2x$ 倍になれば密度は $1/(2x)$ 倍になります。つまり、

f_Y(y) = f_X(x) \times \frac{1}{\lvert dy/dx \rvert} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{y}}

シミュレーションで検算しました。

$y$	実測した密度	理論値 $1/(2\sqrt{y})$
0.01	5.177	5.000
0.25	0.995	1.000
0.81	0.564	0.556

一致しました。上の図の右下でも、ヒストグラムに理論曲線がぴったり重なっています。

f_X と f_Y は別の関数

添字が違うのは、別の関数だからです。同じデータでも「Xの目線」と「Yの目線」で違う形になります。

f_Xとf_Yの比較。同じデータでも座標が違うと密度の分布が違って見える

	変換前 X の目線	変換後 Y の目線
密度関数	$f_X(x) = 1$	$f_Y(y) = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}$
x=0.5 / y=0.25	1.0	1.0
x=0.2 / y=0.04	1.0	2.50
x=0.8 / y=0.64	1.0	0.62

Xの目線ではどこも1で平らですが、Yの目線では場所によって2.50や0.62に変わります。データは同じなのに、見る座標が違うと密度の分布が違って見える——これが変数変換の本質でした。

一般形を分解する

ここまで分かれば、公式も自然に読めます。

f_Y(y) = f_X\!\left(g^{-1}(y)\right) \times \left\lvert \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\rvert

一般形の分解と具体例

式は2つのパーツの掛け算です。

パーツ	役割
$f_X\!\left(g^{-1}(y)\right)$	① 元の密度を引いてくる
$\left\lvert \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\rvert$	② 幅の伸縮を補正する（＝ヤコビアン）

日本語に訳すとこうです。

知りたい y での密度は、元をたどった位置 x での密度に、幅の変化率を掛けたもの

$y = 0.25$ の場合を追います。

元をたどる： $g^{-1}(0.25) = \sqrt{0.25} = 0.5$ 　←「y=0.25 になったのは、元が x=0.5 だったから」
そこでの密度を調べる： $f_X(0.5) = 1$ 　←一様分布なのでどこでも1
幅の変化率を計算する： $\left\lvert \frac{d}{dy}\sqrt{y} \right\rvert = \frac{1}{2\sqrt{0.25}} = 1.0$
掛ける： $f_Y(0.25) = 1 \times 1.0 = 1.0$ 　←実測値1.0011と一致

なぜ「逆関数」を使うのか

素朴には「xを入れてyを出す」変換 $g$ を使いたくなりますが、式には $g^{-1}$ が出てきます。

理由は、求めたいものが「yの関数」だからです。 $f_Y(y)$ を求めるとは「yを入れたら密度が返る関数」を作ることなので、右辺もすべてyで書けていなければなりません。しかし元の密度 $f_X$ はxを入れる関数です。だから $g^{-1}$ で「yからxに戻す」必要があります。

ヤコビアンが $\left\lvert \frac{dx}{dy} \right\rvert$ の形（ $\frac{dy}{dx}$ ではない）なのも同じ理屈でした。

ヤコビアンが保つのは「面積」だけ

ここが今回いちばん腹に落ちた部分です。ヤコビアンは何を守っているのか。

答えは「密度関数の全体の面積が1になること」です。密度関数には、全区間で積分すると必ず1になるという性質があります。

\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1 \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y)\,dy = 1

確率の合計は必ず1でなければならない、という当たり前の要求です。ヤコビアンはこの制約を守るための調整でした。

ヤコビアンが面積を保つことを示す図。面積は常に1だが標準偏差はバラバラに変わる

図の右端 $Y = 3X$ の例がいちばん分かりやすいです。Xの範囲が0〜1だったのに、3倍するとYの範囲は0〜3になります。横に3倍伸びたので、高さをそのまま1にしておくと面積が3になってしまう。 だから高さを $1/3$ に下げる。この $1/3$ がヤコビアンです。

標準偏差は保たれない

私は最初「標準偏差を1に保つための係数」だと勘違いしていました。実際に測ると違います。

変換	変換前の標準偏差	変換後の標準偏差	密度の面積
$Y = X^2$	0.2886	0.2981	1.000000
$Y = 3X$	0.2886	0.8658	1.000000
$Y = \sqrt{X}$	0.2886	0.2356	1.000000
$Y = e^X$	0.2886	0.4919	1.000000

標準偏差は0.2356から0.8658まで大きく動いていますが、面積は常に1.000000です。保たれているのは面積だけでした。

なお「標準偏差を1にする」のは標準化という別の操作です。 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ のように意図的に平均0・標準偏差1に揃える変換で、目的が違います（ただし標準化も変数変換の一種なので、その密度を求めるならヤコビアンが必要です）。

面積を保つ要求から、公式が導ける

そしてここが気持ちよかった点です。「面積=1を保つ」という要求から、一般形が自動的に出てきます。

同じデータの塊をXの目線とYの目線で見たとき、含まれる確率は同じでなければなりません。確率 = 密度 × 幅なので、

f_X(x) \times dx = f_Y(y) \times dy

これを $f_Y(y)$ について解くと、

f_Y(y) = f_X(x) \times \left\lvert \frac{dx}{dy} \right\rvert

一般形になりました。公式として暗記するものではなく、制約から導かれる結果だったわけです。

第3回とつながる：E[g(X)] ≠ g(E[X])

もう一つ、前回の内容と直結する発見がありました。「平均身長・平均体重の人のBMI」は、「BMIの平均」と一致しません。

計算方法	結果
平均身長1.70m・平均体重65kgから計算したBMI	22.491
全員のBMIを計算して平均を取ったもの	22.570

これはJensenの不等式と呼ばれる性質です。

Jensenの不等式の図解。凸関数では弦が曲線の上を通る

曲線が下に凸なので、2点を結ぶ弦は必ず曲線の上を通ります。だから「2乗してから平均」のほうが「平均してから2乗」より大きくなる。

なお正確に言うと、BMIは身長と体重の2変数の関数なので、上の1変数の図だけで不等号の向きが決まるわけではありません（ $W/H^2$ は2変数関数としては凸ではありません）。上のBMIで差が出たのは、身長の側の $1/H^2$ が凸であることが効いているためです。「非線形な変換を通すと、平均を入れた結果と結果の平均は一致しない」という事実が本質で、どちら向きにずれるかは変換の形ごとに確かめる必要があります。

そしてこの差が、前回やった分散でした。

E[X^2] - (E[X])^2 = V[X]

第3回で「2乗の平均 − 平均の2乗が分散」と確かめましたが、その正体は、「変換してから平均」と「平均してから変換」のズレだったわけです。図では $E[g(X)]=109$ 、 $g(E[X])=100$ で差が9。これがそのまま分散になっています。

実務での注意点

平均値を代表値として使い、それを何かの式に入れて計算する——この操作は非線形な式では誤差を生みます。

「平均レスポンスタイムから平均スループットを計算する」
「平均単価 × 平均個数で売上を見積もる」

こういった計算は、厳密には正しくありません。式が非線形なら、平均を入れた結果と結果の平均は一致しないからです。

AIを使ってみた感想

今回いちばん役に立ったのは、自分の理解を言葉にしてぶつけたことでした。

「ヤコビアンは標準偏差を1に保つための変換」と思っていたのですが、これをAIに確認したところ違いを指摘され、実際に4つの変換で標準偏差を測って「バラバラに変わる」「面積だけが1で不変」と確かめられました。自分で計算するまでは、たぶん勘違いしたまま先に進んでいたと思います。

もう一つは、記号の意味を飛ばさずに聞けたことです。 $f_X(x)$ の添字と括弧が何を指すのか、なぜ $f_Y$ と区別するのか。当たり前すぎて教科書には書いていない部分ですが、ここが曖昧だと公式が読めません。分からないところを分からないと言えるのは、AI相手の学習の利点だと思います。

この章で押さえること

問い	答え
何に使うのか	元の分布から、変換後の分布を求める
なぜ分布が変わるのか	変換で区間の幅が伸縮し、密度が変わるから
ヤコビアンとは	幅の伸縮を打ち消す補正係数
何を保っているのか	密度の全体面積＝1（確率の合計）
なぜ絶対値を付けるのか	密度が負になってはいけないから
注意点	$E[g(X)] \neq g(E[X])$ 。そのズレが分散だった

準1級では、この変数変換が第6章で本格的に使われます。t分布やカイ二乗分布は、正規分布を変換した結果として導かれるので、「なぜあの形なのか」を追うにはここの理解が前提になります。

次回

第5回は第5章「離散型分布」を予定しています。

二項分布・ポアソン分布・幾何分布あたりを扱います。「1日に何件クレームが来るか」「何回打ったらヒットが出るか」のような、数えられる現象の型を整理する回です。

この連載は、うまくいった記録だけでなく詰まった箇所も含めて書いています。同じく準1級を目指している方、一度挫折した方の参考になれば嬉しいです。